ガイガー管を動作させるには高電圧が必要です。 俗に「死にボルト」といって、42 V もあれば感電して人は死ぬことがあります。 数百〜数千ボルト（場合によっては数万ボルト）を扱うので、とても危険です。 読者がどうなろうと、何を起こそうと、筆者・リンク先は関知しません。 電力・エネルギーが小さければ日頃感じる静電気のパチッですみますが、コンデンサーに電荷が貯まっていればドカンと来ます。 理解した上で扱ってください。 「自己責任」です。
放射線の教科書では、コッククロフト・ウォルトン回路やバン・デ・グラーフ起電器が紹介されています。 どちらも高校の物理でおなじみかもしれません。 （ちなみに、コックロフトだと思っていましたが、 Cockcroft なのでコッククロフトのようですが、よくわかりません）
高校物理の実験でよくやる方法ですが、 水道管に使う塩ビ管を紙（ティッシュやキッチンペーパー）で擦って、塩ビに帯電するマイナスの電荷をコンデンサに貯めるのが楽かもしれません。 貯め方は GeigerMuellerVideo などを参考に。 （でんじろう先生曰く、五千ボルトくらいあるのだそうですが....）
もうちょっと手軽に静電気を手動で発生させる方法は「物理教育」などにいろいろ載っています。
私見ですが、電気コップ（ポリスチレンの使い捨てコップとアルミ箔でつくったコンデンサー）では、ひび割れがあると絶縁破壊するように思えます。 一度パチッと閃光を発したら、作り直したほうが無難に感じます (2011/5/12)
安定した高圧電源が欲しいとき、レンズ付きフィルム「写ルンです」のフラッシュ回路を取り出して利用する方法が知られています。 未確認ですが、380 V (AC/DC) が得られるようです。
実際に自分で分解して取り出し、回路を改造したときの写真は
その他、ジャンクカメラのフラッシュから取り出すという方法もあります（回路が分かれば）
秋葉原に行くか通販を利用するなら、液晶のバックライトに使う冷陰極管用の交流高圧電源を買うのがよいかもしれません(2011/5)。 ただし、定番商品は入手難になってきました(2011/7/19)。
液晶モニタやノートパソコンのジャンクから取り出すという方法も考えられます。
「105円防犯ブザーの圧電スピーカーはずして、 105円Ni-MH充電器のトランスの低圧側に接続する。 二次側にコッククロフト4〜5段(充電器の整流ダイオード利用) でDC400V余裕で作れた。 鉄損とか色々あるだろうけどGM管駆動ならこれでいけそう。」 （ http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/denki/1304773214/ の 2011/5/9 の書き込みより引用）
通常、交流 100 V（実効値）を整流するとピーク トゥ ピークの半分で直流 140 V（最大値）になります。半波整流、全波整流、ブリッジ整流などがよく知られています。
交流を2倍の電圧の直流に整流することもできます。
3倍以上は
たまには自分で確かめたことを少々。自分の頭で考えたのではなく、SPICE に計算してもらっただけですけれど。
例：
ガイガーミュラー管はほとんど電流が流れないので、ここまで強力な電源は必要ありませんが、ご紹介まで。
高電圧の回路は作ったときに大丈夫でも、梅雨時の高湿度でスパークすることがあるそうです。
また、1つの目安として、
「1kV＝1mmで換算していいんだな」「安全耐圧なのかどうかは正確ではないが、送信機用の高圧バリコンの耐圧仕様などは大体それぐらいの板間距離になっていた。でもこれは空中間の話。」（ http://2bangai.net/read/b30184bcf06ed2bf3468a08c0616385ac098123df92941205b474cf454c65b07/501 より 2011/4/29-30 の書き込み）
という話もあります。
高電圧や高インピーダンスの電気回路を扱う場合、いろいろコツが必要なようです。
Utsunomia 放射線量計を作ろう vol,1 http://www.utsunomia.com/y.utsunomia/geiger.html (2011/5/20)
素手で触らず、アルコールでよくふく。 絶縁にテフロンやステアタイト（碍子に使う磁器）を利用しつつ空中配線。 という感じですね。 ベーク板はだめらしいです。
図書館で文献を探すなら、高電圧があればよいのですが、どの図書館にもある静電気の本が一般論として参考になります。
個別部品で作るなら、ガイガーカウンターの自作例を探すと参考になります。